수학영역 00:00:00 / 01:40:00 종료

1. $ \sqrt[3]{24} \times 3^{\frac{2}{3}} $의 값은? [2점]

① 6

② 7

③ 8

④ 9

⑤ 10

2. 함수 $ f(x) = 2x^3-5x^2+3 $에 대하여 $ \displaystyle \lim_{h \to 0}\displaystyle \frac{f(2+h)-f(2)}{h} $
  의 값은? [2점]

① 1

② 2

③ 3

④ 4

⑤ 5

3. $ \displaystyle \frac{3}{2} \pi < \theta < 2 \pi $인 $ \theta $에 대하여 $ \sin{(-\theta)} = \displaystyle \frac{1}{3} $일 때,
  $ \tan{\theta} $의 값은? [3점]

① $ -\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2} $

② $ -\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{4} $

③ $ -\displaystyle \frac{1}{4} $

④ $ \displaystyle \frac{1}{4} $

⑤ $ \displaystyle \frac{\sqrt{2}}{4} $

4. 함수
   $f(x) = \begin{cases} 3x-a & (x < 2) \\ x^2+a & (x \geq 2)\end{cases} $
  가 실수 전체의 집합에서 연속일 때, 상수 $ a $의 값은? [3점]

① 1

② 2

③ 3

④ 4

⑤ 5

5. 다항함수 $ f(x) $가
  $ f'(x) = 3x(x-2) $, $f(1) = 6$
 을 만족시킬 때, $ f(2) $의 값은? [3점]

① 1

② 2

③ 3

④ 4

⑤ 5

6. 등비수열 $ \{a_n\} $의 첫째항부터 제 $ n $항까지의 합을 $ S_n $
  $ S_4 -S_2 = 3a_4$, $ a_5 = \displaystyle \frac{3}{4} $
  일 때, $ a_1 + a_2 $의 값은?[3점]

① 27

② 24

③ 21

④ 18

⑤ 15

7. 함수 $ f(x) \ \displaystyle \frac{1}{3}x^3-2x^2-12x+4 $가 $ x= \alpha $에서 극대이고,
  $ x = \beta $에서 극소일 때, $ \beta - \alpha $의 값은? (단, $ \alpha $와 $ \beta $는 상수이다.) [3점]

① -4

② 0

③ 2

④ 5

⑤ 8

8. 삼차함수 $ f(x) $가 모든 실수 $ x $에 대하여
  $ xf(x)-f(x) = 3x^4-3x $
  를 만족시킬 때, $ \displaystyle \int_{-2}^{2}f(x)dx $의 값은? [3점]

① 12

② 16

③ 20

④ 24

⑤ 28

9. 수직선 위의 두 점 $ P(\log_{5}{3}), Q(\log_{5}{12}) $에 대하여
  선분 PQ를 $ m:(1-m) $으로 내분하는 점의 좌표가 1일 때, $ 4^m $의 값은?(단, $ m $은 $ 0 < m < 1 $인 상수이다.) [4점]

① $ \displaystyle \frac{7}{6} $

② $ \displaystyle \frac{4}{3} $

③ $ \displaystyle \frac{3}{2} $

④ $ \displaystyle \frac{5}{3} $

⑤ $ \displaystyle \frac{11}{6} $

10. 시각 $ t=0 $일 때 동시에 원점을 출발하여 수직선 위를
  움직이는 두 점 P, Q의 시각 $ t(t \geq 0) $에서의 속도가 각각
  $ v_1(t) = t^2-6t+5 $, $ v_2(t) = 2t-7 $
  이다. 시각 $ t $에서의 두 점 P, Q 사이의 거리를 $ f(t) $라 할 때, 함수 $ f(t) $는 구간 $ [0, a] $에서 증가하고, 구간 $ [a, b] $에서
  감소하고, 구간 $ [b, \infty) $에서 증가한다. 시각 $ t=a $에서 $ t=b $까지 점 Q가 움직인 거리는? (단, $ 0 < a < b $) [4점]

① $ \displaystyle \frac{15}{2} $

② $ \displaystyle \frac{17}{2} $

③ $ \displaystyle \frac{19}{2} $

④ $ \displaystyle \frac{21}{2} $

⑤ $ \displaystyle \frac{23}{2} $

11. 공차가 0이 아닌 등차수열 $ \{a_n\} $에 대하여,
  $ |a_6| = a_8 $, $ \displaystyle \sum_{k=1}^{5} \displaystyle \frac{1}{a_ka_{k+1}} = \displaystyle \frac{5}{96} $
  일 때, $ \displaystyle \sum_{k=1}^{15}a_k $의 값은? [4점]

① 60

② 65

③ 70

④ 75

⑤ 80

12. 함수 $ f(x) = \displaystyle \frac{1}{9}x(x-6)(x-9) $와 실수 $ t ( 0 < t < 6 ) $에 대하여
  함수 $ g(x) $는
   $ g(x) = \begin{cases} f(x) & (x < t) \\ -(x-t)+f(t) & (x \geq t)\end{cases} $
  이다. 함수 $ y=g(x) $의 그래프와 x축으로 둘러싸인 영역의 넓이의 최댓값은? [4점]

① $ \displaystyle \frac{125}{4} $

② $ \displaystyle \frac{127}{4} $

③ $ \displaystyle \frac{129}{4} $

④ $ \displaystyle \frac{131}{4} $

⑤ $ \displaystyle \frac{133}{4} $

13. 그림과 같이
  $ \overline{AB} =3$, $ \overline{BC} = \sqrt{13} $, $ \overline{AD} \times \overline{CD} = 9$, $ \angle{BAC} = \displaystyle \frac{\pi}{3} $인 사각형 ABCD가 있다. 삼각형 ABC의 넓이를 $ S_1 $, 삼각형 ACD의 넓이를 $ S_2 $라 하고, 삼각형 ACD의 외접원의 반지름의 길이를 R이라 하자.
  $ S_2 = \displaystyle \frac{5}{6}S_1 $일 때, $\displaystyle \frac{R}{\sin{(\angle{ACD})}}$의 값은? [4점]

① $ \displaystyle \frac{54}{25} $

② $ \displaystyle \frac{117}{50} $

③ $ \displaystyle \frac{63}{25} $

④ $ \displaystyle \frac{27}{10} $

⑤ $ \displaystyle \frac{72}{25} $

14. 두 자연수 $ a, b $에 대하여 함수 $ f(x) $는
   $f(x) = \begin{cases} 2x^3-6x+1 & (x \leq 2) \\ \displaystyle a(x-2)(x-b)+9 & (x>2) \end{cases} $
  이다. 실수 $ t $에 대하여 함수 $ y=f(x) $의 그래프와 직선 $ y=t $가
  만나는 점의 개수를 $ g(t) $라 하자.
  $ g(k) + \displaystyle \lim_{t \to k-}g(t) + \displaystyle \lim_{t \to k+}g(t) = 9 $
  를 만족시키는 실수 $ k $의 개수가 1이 되도록 하는 두 자연수
  $ a, b $의 순서쌍 $ (a, b) $에 대하여 $ a+b $의 최댓값은? [4점]

① 51

② 52

③ 53

④ 54

⑤ 55

15. 첫째항이 자연수인 수열 $ \{a_n\} $이 모든 자연수 $ n $에 대하여
   $a_{n+1} = \begin{cases} 2^{a_n} & (a_n \text{이 홀수인 경우}) \\ \displaystyle \frac{1}{2}a_n & (a_n \text{이 짝수인 경우})\end{cases} $ 를 만족시킬 때, $ a_6 + a_7 =3$이 되도록 하는 모든 $ a_1 $의 값의 합은? [4점]

① 139

② 146

③ 153

④ 160

⑤ 167

16. 방정식 $ 3^{x-8} = \left ( \displaystyle \frac{1}{27} \right )^x $을 만족시키는 실수 $ x $의 값을 구하시오. [3점]

17. 함수 $ f(x) = (x+1)(x^3+3) $에 대하여 $ f'(1) $의 값을 구하시오. [3점]

18. 두 수열 $ \{a_n\}, \{b_n\} $에 대하여 $ \displaystyle \sum_{k=1}^{10}a_k = \displaystyle \sum_{k=1}^{10}2b_k-1 $, $ \displaystyle \sum_{k=1}^{10}(3a_k + b_k) = 33 $
  일 때, $ \displaystyle \sum_{k=1}^{10}b_k $의 값을 구하시오. [3점]

19. 함수 $ f(x) = \sin{\displaystyle \frac{\pi}{4}x} $라 할 때, $ 0  $ f(2+x)f(2-x) < \displaystyle \frac{1}{4}$
  을 만족시키는 모든 자연수 $ x $의 값의 합을 구하시오. [3점]

20. $ a> \sqrt{2} $인 실수 $a$에 대하여 함수 $ f(x) $를
  $ f(x) = -x^3+ax^2+2x $
  라 하자. 곡선 $ y = f(x) $위의 점 $O(0, 0)$에서의 접선이
  곡선 $ y = f(x) $와 만나는 점 중 O가 아닌 점을 A라 하고,
  곡선 $ y=f(x) $ 위의 점 A에서의 접선이 $x$축과 만나는 점을
  B라 하자. 점 A가 선분 OB를 지름으로 하는 원 위의 점일 때,
  $ \overline{OA} \times \overline{AB} $의 값을 구하시오. [4점]

21. 양수 $a$에 대하여 $ x \geq -1 $에서 정의된 함수 $ f(x) $는
   $f(x) = \begin{cases} -x^2+6x & (-1 \leq x \leq 6) \\ a \log_{4}{(x-5)} & (x \geq 6)\end{cases} $ 이다. $ t \geq 0$인 실수 $ t $에 대하여 닫힌구간 $ [t-1 , t+1] $에서의
  $ f(x) $의 최댓값을 $ g(t) $라 하자. 구간 $ [0, \infty ) $에서 함수 $ g(t) $의 최솟값이 5가 되도록 하는 양수 $a$의 최솟값을 구하시오. [4점]

22. 최고차항의 계수가 1인 삼차함수 $ f(x) $가 다음 조건을
  만족시킨다.

  함수 $ f(x) $에 대하여
  $ f(k-1)f(k+1) <0 $
  을 만족시키는 정수 $ k $는 존재하지 않는다.

$f'\left ( \displaystyle \frac{1}{4} \right ) = - \displaystyle \frac{1}{4}, f'\left ( \displaystyle \frac{1}{4} \right )<0$ 일 때, $ f(8) $의 값을 구하시오. [4점]

23. 5개의 문자 $ x, x, y, y, z $를 모두 일렬로 나열하는
 경우의 수는? [2점]

① 10

② 20

③ 30

④ 40

⑤ 50

24. 두 사건 A, B는 독립이고
  $ P(A \cap B) = \displaystyle \frac{1}{4}, P(A^c) = 2P(A) $
  일 때, $ P(B) $의 값은? (단, $ A^c $은 $ A $의 여사건이다.) [3점]

① $ \displaystyle \frac{3}{8} $

② $ \displaystyle \frac{1}{2} $

③ $ \displaystyle \frac{5}{8} $

④ $ \displaystyle \frac{3}{4} $

⑤ $ \displaystyle \frac{7}{8} $

25. 숫자 1, 2, 3, 4, 5, 6이 하나씩 적혀 있는 6장의 카드가 있다.
  이 6장의 카드를 모두 한 번씩 사용하여 일렬로 임의로
  나열할 때, 양 끝에 놓인 카드에 적힌 두 수의 합이 10 이하가 되도록 카드가 놓일 확률은? [3점]

① $ \displaystyle \frac{8}{15} $

② $ \displaystyle \frac{19}{30} $

③ $ \displaystyle \frac{11}{15} $

④ $ \displaystyle \frac{5}{6} $

⑤ $ \displaystyle \frac{14}{15} $

26. 4개의 동전을 동시에 던져서 앞면이 나오는 동전의 개수를
  확률변수 $X$라 하고, 이산확률변수 $ Y $를
   $Y = \begin{cases} X & (X \text{가 0 또는 1의 값을 가지는 경우}) \\ 2 & (X \text{가 2 이상의 값을 가지는경우})\end{cases} $ 라 하자. $ E(Y) $의 값은? [3점]

① $ \displaystyle \frac{25}{16} $

② $ \displaystyle \frac{13}{8} $

③ $ \displaystyle \frac{27}{16} $

④ $ \displaystyle \frac{7}{4} $

⑤ $ \displaystyle \frac{29}{16} $

27. 정규분포 $ N(m, 5^2) $을 따르는 모집단에서 크기가 49인 표본을
  임의추출하여 얻은 표본 평균이 $ \overline{x} $일 때, 모평균 $ m $에 대한
  신뢰도 95\%의 신뢰구간이 $ a \leq m \leq \displaystyle \frac{6}{5}a $이다. $ \overline{x} $의 값은?
  (단, $ Z $가 표준정규분포를 따르는 확률변수일 때, $ P(|Z| \leq 1.96) = 0.95 $로 계산한다.) [3점]

① 15.2

② 15.4

③ 15.6

④ 15.8

⑤ 16

28. 하나의 주머니와 두 상자 A , B가 있다. 주머니에는 숫자
  1, 2, 3, 4가 하나씩 적힌 4장의 카드가 들어 있고,
  상자 A 에는 흰 공과 검은 공이 각각 8개 이상 들어 있고,
  상자 B는 비어 있다. 이 주머니와 두 상자 A , B를 사용하여
  다음 시행을 한다.

  주머니에서 임의로 한 장의 카드를 꺼내어
  카드에 적힌 수를 확인한 후 다시 주머니에 넣는다.
  확인한 수가 1이면
  상자 A에 있는 흰 공 1개를 상자 B에 넣고,
  확인한 수가 2 또는 3이면
  상자 A에 있는 흰 공 1개와 검은 공 1개를 상자 B에 넣고,
  확인한 수가 4이면
  상자 A 에 있는 흰 공 2개와 검은 공 1개를 상자 B에 넣는다.

이 시행을 4번 반복한 후 상자 B에 들어 있는 공의 개수가 8일 때, 상자 B에 들어 있는 검은 공의 개수가 2일 확률은? [4점]

① $ \displaystyle \frac{3}{70} $

② $ \displaystyle \frac{2}{35} $

③ $ \displaystyle \frac{1}{14} $

④ $ \displaystyle \frac{3}{35} $

⑤ $ \displaystyle \frac{1}{10} $

29. 다음 조건을 만족시키는 6이하의 자연수 $a, b, c, d$의 모든 순서쌍 $(a, b, c, d)$의 개수를 구하시오. [4점]

  $ a \leq c \leq d $이고 $ b \leq c \leq d $이다.

30. 양수 $ t $에 대하여 확률변수 $ X $가 정규분포 $ N(1, t^2) $을
  따른다.
  $ P(X \leq 5t) \geq \displaystyle \frac{1}{2} $
  이 되도록 하느 모든 양수 $ t $에 대하여 $ P(t^2 -t+1 \leq X \leq t^2+t+1) $의 최댓값을 오른쪽 표준정규분포표를 이용하여 구한 값을 $ k $라 하자. $ 1000 \times k $의 값을 구하시오. [4점]