1 . \( \sqrt[3]{24} \times 3^{\frac{2}{3}} \)의 값은? [2점]

2 . 함수 \( f(x) = 2x^3-5x^2+3 \)에 대하여 \( \displaystyle \lim_{h \to 0}\displaystyle \frac{f(2+h)-f(2)}{h} \)
  의 값은? [2점]

3 . \( \displaystyle \frac{3}{2} \pi < \theta < 2 \pi \)인 \( \theta \)에 대하여 \( \sin{(-\theta)} = \displaystyle \frac{1}{3} \)일 때,
  \( \tan{\theta} \)의 값은? [3점]

4 . 함수
   \(f(x) = \begin{cases} 3x-a & (x < 2) \\ x^2+a & (x \geq 2)\end{cases} \)
  가 실수 전체의 집합에서 연속일 때, 상수 \( a \)의 값은? [3점]

5 . 다항함수 \( f(x) \)가
  \( f'(x) = 3x(x-2) \), \(f(1) = 6\)
 을 만족시킬 때, \( f(2) \)의 값은? [3점]

6 . 등비수열 \( \{a_n\} \)의 첫째항부터 제 \( n \)항까지의 합을 \( S_n \)
  \( S_4 -S_2 = 3a_4\), \( a_5 = \displaystyle \frac{3}{4} \)
  일 때, \( a_1 + a_2 \)의 값은?[3점]

7 . 함수 \( f(x) \ \displaystyle \frac{1}{3}x^3-2x^2-12x+4 \)가 \( x= \alpha \)에서 극대이고,
  \( x = \beta \)에서 극소일 때, \( \beta - \alpha \)의 값은? (단, \( \alpha \)와 \( \beta \)는 상수이다.) [3점]

8 . 삼차함수 \( f(x) \)가 모든 실수 \( x \)에 대하여
  \( xf(x)-f(x) = 3x^4-3x \)
  를 만족시킬 때, \( \displaystyle \int_{-2}^{2}f(x)dx \)의 값은? [3점]

9 . 수직선 위의 두 점 \( P(\log_{5}{3}), Q(\log_{5}{12}) \)에 대하여
  선분 PQ를 \( m:(1-m) \)으로 내분하는 점의 좌표가 1일 때, \( 4^m \)의 값은?(단, \( m \)은 \( 0 < m < 1 \)인 상수이다.) [4점]

10 . 시각 \( t=0 \)일 때 동시에 원점을 출발하여 수직선 위를
  움직이는 두 점 P, Q의 시각 \( t(t \geq 0) \)에서의 속도가 각각
  \( v_1(t) = t^2-6t+5 \), \( v_2(t) = 2t-7 \)
  이다. 시각 \( t \)에서의 두 점 P, Q 사이의 거리를 \( f(t) \)라 할 때, 함수 \( f(t) \)는 구간 \( [0, a] \)에서 증가하고, 구간 \( [a, b] \)에서
  감소하고, 구간 \( [b, \infty) \)에서 증가한다. 시각 \( t=a \)에서 \( t=b \)까지 점 Q가 움직인 거리는? (단, \( 0 < a < b \)) [4점]

11 . 공차가 0이 아닌 등차수열 \( \{a_n\} \)에 대하여,
  \( |a_6| = a_8 \), \( \displaystyle \sum_{k=1}^{5} \displaystyle \frac{1}{a_ka_{k+1}} = \displaystyle \frac{5}{96} \)
  일 때, \( \displaystyle \sum_{k=1}^{15}a_k \)의 값은? [4점]

12 . 함수 \( f(x) = \displaystyle \frac{1}{9}x(x-6)(x-9) \)와 실수 \( t ( 0 < t < 6 ) \)에 대하여
  함수 \( g(x) \)는
   \( g(x) = \begin{cases} f(x) & (x < t) \\ -(x-t)+f(t) & (x \geq t)\end{cases} \)
  이다. 함수 \( y=g(x) \)의 그래프와 x축으로 둘러싸인 영역의 넓이의 최댓값은? [4점]

13 . 그림과 같이
  \( \overline{AB} =3\), \( \overline{BC} = \sqrt{13} \), \( \overline{AD} \times \overline{CD} = 9\), \( \angle{BAC} = \displaystyle \frac{\pi}{3} \)인 사각형 ABCD가 있다. 삼각형 ABC의 넓이를 \( S_1 \), 삼각형 ACD의 넓이를 \( S_2 \)라 하고, 삼각형 ACD의 외접원의 반지름의 길이를 R이라 하자.
  \( S_2 = \displaystyle \frac{5}{6}S_1 \)일 때, \(\displaystyle \frac{R}{\sin{(\angle{ACD})}}\)의 값은? [4점]

14 . 두 자연수 \( a, b \)에 대하여 함수 \( f(x) \)는
   \(f(x) = \begin{cases} 2x^3-6x+1 & (x \leq 2) \\ \displaystyle a(x-2)(x-b)+9 & (x>2) \end{cases} \)
  이다. 실수 \( t \)에 대하여 함수 \( y=f(x) \)의 그래프와 직선 \( y=t \)가
  만나는 점의 개수를 \( g(t) \)라 하자.
  \( g(k) + \displaystyle \lim_{t \to k-}g(t) + \displaystyle \lim_{t \to k+}g(t) = 9 \)
  를 만족시키는 실수 \( k \)의 개수가 1이 되도록 하는 두 자연수
  \( a, b \)의 순서쌍 \( (a, b) \)에 대하여 \( a+b \)의 최댓값은? [4점]

15 . 첫째항이 자연수인 수열 \( \{a_n\} \)이 모든 자연수 \( n \)에 대하여
   \(a_{n+1} = \begin{cases} 2^{a_n} & (a_n \text{이 홀수인 경우}) \\ \displaystyle \frac{1}{2}a_n & (a_n \text{이 짝수인 경우})\end{cases} \) 를 만족시킬 때, \( a_6 + a_7 =3\)이 되도록 하는 모든 \( a_1 \)의 값의 합은? [4점]

16 . 방정식 \( 3^{x-8} = \left ( \displaystyle \frac{1}{27} \right )^x \)을 만족시키는 실수 \( x \)의 값을 구하시오. [3점]

17 . 함수 \( f(x) = (x+1)(x^3+3) \)에 대하여 \( f'(1) \)의 값을 구하시오. [3점]

18 . 두 수열 \( \{a_n\}, \{b_n\} \)에 대하여 \( \displaystyle \sum_{k=1}^{10}a_k = \displaystyle \sum_{k=1}^{10}2b_k-1 \), \( \displaystyle \sum_{k=1}^{10}(3a_k + b_k) = 33 \)
  일 때, \( \displaystyle \sum_{k=1}^{10}b_k \)의 값을 구하시오. [3점]

19 . 함수 \( f(x) = \sin{\displaystyle \frac{\pi}{4}x} \)라 할 때, \( 0<x<16 \)에서 부등식
  \( f(2+x)f(2-x) < \displaystyle \frac{1}{4}\)
  을 만족시키는 모든 자연수 \( x \)의 값의 합을 구하시오. [3점]

20 . \( a> \sqrt{2} \)인 실수 \(a\)에 대하여 함수 \( f(x) \)를
  \( f(x) = -x^3+ax^2+2x \)
  라 하자. 곡선 \( y = f(x) \)위의 점 \(O(0, 0)\)에서의 접선이
  곡선 \( y = f(x) \)와 만나는 점 중 O가 아닌 점을 A라 하고,
  곡선 \( y=f(x) \) 위의 점 A에서의 접선이 \(x\)축과 만나는 점을
  B라 하자. 점 A가 선분 OB를 지름으로 하는 원 위의 점일 때,
  \( \overline{OA} \times \overline{AB} \)의 값을 구하시오. [4점]

21 . 양수 \(a\)에 대하여 \( x \geq -1 \)에서 정의된 함수 \( f(x) \)는
   \(f(x) = \begin{cases} -x^2+6x & (-1 \leq x \leq 6) \\ a \log_{4}{(x-5)} & (x \geq 6)\end{cases} \) 이다. \( t \geq 0\)인 실수 \( t \)에 대하여 닫힌구간 \( [t-1 , t+1] \)에서의
  \( f(x) \)의 최댓값을 \( g(t) \)라 하자. 구간 \( [0, \infty ) \)에서 함수 \( g(t) \)의 최솟값이 5가 되도록 하는 양수 \(a\)의 최솟값을 구하시오. [4점]

22 . 최고차항의 계수가 1인 삼차함수 \( f(x) \)가 다음 조건을
  만족시킨다.

\(f'\left ( \displaystyle \frac{1}{4} \right ) = - \displaystyle \frac{1}{4}, f'\left ( \displaystyle \frac{1}{4} \right )<0\) 일 때, \( f(8) \)의 값을 구하시오. [4점]

23 . 5개의 문자 \( x, x, y, y, z \)를 모두 일렬로 나열하는
 경우의 수는? [2점]

24 . 두 사건 A, B는 독립이고
  \( P(A \cap B) = \displaystyle \frac{1}{4}, P(A^c) = 2P(A) \)
  일 때, \( P(B) \)의 값은? (단, \( A^c \)은 \( A \)의 여사건이다.) [3점]

25 . 숫자 1, 2, 3, 4, 5, 6이 하나씩 적혀 있는 6장의 카드가 있다.
  이 6장의 카드를 모두 한 번씩 사용하여 일렬로 임의로
  나열할 때, 양 끝에 놓인 카드에 적힌 두 수의 합이 10 이하가 되도록 카드가 놓일 확률은? [3점]

26 . 4개의 동전을 동시에 던져서 앞면이 나오는 동전의 개수를
  확률변수 \(X\)라 하고, 이산확률변수 \( Y \)를
   \(Y = \begin{cases} X & (X \text{가 0 또는 1의 값을 가지는 경우}) \\ 2 & (X \text{가 2 이상의 값을 가지는경우})\end{cases} \) 라 하자. \( E(Y) \)의 값은? [3점]

27 . 정규분포 \( N(m, 5^2) \)을 따르는 모집단에서 크기가 49인 표본을
  임의추출하여 얻은 표본 평균이 \( \overline{x} \)일 때, 모평균 \( m \)에 대한
  신뢰도 95\%의 신뢰구간이 \( a \leq m \leq \displaystyle \frac{6}{5}a \)이다. \( \overline{x} \)의 값은?
  (단, \( Z \)가 표준정규분포를 따르는 확률변수일 때, \( P(|Z| \leq 1.96) = 0.95 \)로 계산한다.) [3점]

28 . 하나의 주머니와 두 상자 A , B가 있다. 주머니에는 숫자
  1, 2, 3, 4가 하나씩 적힌 4장의 카드가 들어 있고,
  상자 A 에는 흰 공과 검은 공이 각각 8개 이상 들어 있고,
  상자 B는 비어 있다. 이 주머니와 두 상자 A , B를 사용하여
  다음 시행을 한다.

이 시행을 4번 반복한 후 상자 B에 들어 있는 공의 개수가 8일 때, 상자 B에 들어 있는 검은 공의 개수가 2일 확률은? [4점]

29 . 다음 조건을 만족시키는 6이하의 자연수 \(a, b, c, d\)의 모든 순서쌍 \((a, b, c, d)\)의 개수를 구하시오. [4점]

30 . 양수 \( t \)에 대하여 확률변수 \( X \)가 정규분포 \( N(1, t^2) \)을
  따른다.
  \( P(X \leq 5t) \geq \displaystyle \frac{1}{2} \)
  이 되도록 하느 모든 양수 \( t \)에 대하여 \( P(t^2 -t+1 \leq X \leq t^2+t+1) \)의 최댓값을 오른쪽 표준정규분포표를 이용하여 구한 값을 \( k \)라 하자. \( 1000 \times k \)의 값을 구하시오. [4점]