[기하]
1. 서로 평행하지 않은 두 벡터 $ \overrightarrow{a}, \overrightarrow{b} $에 대하여
$ \overrightarrow{a} + 2\overrightarrow{b}, 3\overrightarrow{a}+k\overrightarrow{b} $가 서로 평행하도록 하는 실수 $ k $의 값은? (단, $ \overrightarrow{a} \neq \overrightarrow{0}, \overrightarrow{b} \neq \overrightarrow{0}$) [2점]
① 2
② 4
③ 6
④ 8
⑤ 10
[삼각함수]
2. $ \displaystyle \frac{3}{2} \pi < \theta < 2 \pi $인 $ \theta $에 대하여 $ \sin{(-\theta)} = \displaystyle \frac{1}{3} $일 때,
$ \tan{\theta} $의 값은? [3점]
① $ -\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2} $
② $ -\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{4} $
③ $ -\displaystyle \frac{1}{4} $
④ $ \displaystyle \frac{1}{4} $
⑤ $ \displaystyle \frac{\sqrt{2}}{4} $
[기하]
3. 그림과 같이 서로 다른 두 평면 $ \alpha, \beta $의 교선 위에
$ \overline{AB} $인 두 점 A , B가 있다. 선분 AB를 지름으로 하는
원 $ C_1 $이 평면 $ \alpha $ 위에 있고, 선분 AB를 장축으로 하고
두 점 F , F′을 초점으로 하는 타원 $ C_2 $가 평면 $ \beta $위에 있다.
원 $ C_1 $ 위의 한 점 P에서 평면 $ \beta $에 내린 수선의 발을 H 라 할 때,
$ \overline{HF'} \overline{HF}$이고 $ \angle{HFF'} \ \displaystyle \frac{\pi}{6} $이다. 직선 HF와 타원 $ C_2 $ 가 만나는 점 중 점 H 와 가까운 점을 Q라 하면, $ \overline{FH} < \overline{FQ} $이다.
점 H를 중심으로 하고 점 Q를 지나는 평면 $ \beta $ 위의 원은
반지름의 길이가 4이고 직선 AB에 접한다. 두 평면 $ \alpha $, $ \beta $가
이루는 각의 크기를 $ \theta $ 라 할 때, $ \cos{\theta} $의 값은? (단, 점 P는 평면 $ \beta $ 위에 있지 않다.) [4점]
① $ \displaystyle \frac{2 \sqrt{66}}{33} $
② $ \displaystyle \frac{4 \sqrt{69}}{69} $
③ $ \displaystyle \frac{\sqrt{2}}{3} $
④ $ \displaystyle \frac{4 \sqrt{3}}{15} $
⑤ $ \displaystyle \frac{2 \sqrt{78}}{39} $