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수학 스낵 모의고사
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1 . \( \displaystyle \lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{2 \times 3^{n+1} + 5}{3^n + 2^{n+1}} \)의 값은? [2점]
① 2
② 4
③ 6
④ 8
⑤ 10
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2 . 자연수 \( n(n \geq 2) \)에 대하여 직선 \( x = \displaystyle \frac{1}{n} \)이 두 타원
\( C_1: \displaystyle \frac{x^2}{2}+y^2 = 1, C_2 : 2x^2+\displaystyle \frac{y^2}{2} = 1 \)
과 만나는 제 1사분면 위의 점을 각각 P, Q라 하자.
타원 \( C_1 \) 위의 점 P에서 접선의 \( x \)절편을 \( \alpha \),
타원 \( C_2 \) 위의 점 Q에서의 접선의 \( x \) 절편을 \( \beta \)라 할 때,
\( 6 \leq \alpha - \beta \leq 15 \)가 되도록 하는 모든 \( n \)의 개수는? [3점]
① 7
② 9
③ 11
④ 13
⑤ 15
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3 . \( a>1 \)인 실수 \(a\)에 대하여 직선 \( y = -x + 4 \)가 두 곡선
\( y = a^{x-1}, y = \log_a(x-1) \)
과 만나는 점을 각각 A, B라 하고, 곡선 \( y = a^{x-1} \)이 \( y \)축과 만나는 점을 C라 하자. \( \overline{AB} = 2 \sqrt{2} \)일 때, 삼각형 ABC의 넓이는 S이다. \( 50 \times S \)의 값을 구하시오. [4점]
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